3D图象算法

    3D简介
    我们首先从坐标系统开始。你也许知道在2D里我们经常使用Ren?笛卡儿坐标系统在平面上来识别点。我们使用二维（X,Y）：X表示水平轴坐标，Y表示纵轴坐标。在3维坐标系，我们增加了Z，一般用它来表示深度。所以为表示三维坐标系的一个点，我们用三个参数（X,Y,Z）。这里有不同的笛卡儿三维系统可以使用。但是它们都是左手螺旋或右手螺旋的。右手螺旋是右手手指的卷曲方向指向Z轴正方向，而大拇指指向X轴正方向。左手螺旋是左手手指的卷曲方向指向Z轴负方向。实际上，我们可以在任何方向上旋转这些坐标系，而且它们仍然保持本身的特性。在计算机图形学，常用坐标系为左手坐标系，所以我们也使用它。
    X 正轴朝右
    Y 正轴向上
    Z 正轴指向屏幕里
    矢量
    什么是矢量？几句话，它是坐标集合。首先我们从二维矢量开始，（X,Y）：例如矢量P（4,5）（一般，我们用->表示矢量）。我们认为矢量P代表点（4,5），它是从原点指向（4,5）的有方向和长度的箭头。我们谈论矢量的长度指从原点到该点的距离。二维距离计算公式是
    | P | = sqrt（ x^2 + y^2 ）
    这里有一个有趣的事实：在1D（点在单一的坐标轴上），平方根为它的绝对值。让我们讨论三维矢量：例如P（4, -5, 9），它的长度为
    | P | = sqrt（ x^2 + y^2 + z^2 ）
    它代表在笛卡儿3D空间的一个点。或从原点到该点的一个箭头代表该矢量。在有关操作一节里，我们讨论更多的知识。
    矩阵
    开始，我们从简单的开始：我们使用二维矩阵4乘4矩阵，为什么是4乘4？因为我们在三维坐标系里而且我们需要附加的行和列来完成计算工作。在二维坐标系我们需要3乘3矩阵。着意味着我们在3D中有4个水平参数和4个垂直参数，一共16个。例如：
    4x4单位矩阵
    | 1 0 0 0 |
    | 0 1 0 0 |
    | 0 0 1 0 |
    | 0 0 0 1 |
    因为任何其它矩阵与之相乘都不改变，所以称之为单位阵。又例如有矩阵如下：
    | 10         -7 22 45 |
    | sin（a） cos（a） 34 32 |
    | -35        28 17  6 |
    | 45        -99 32 16 |
    有关矢量和矩阵的操作
    我们已经介绍了一些非常简单的基本概念，那么上面的知识与三维图形有什么关系呢？
    本节我们介绍3D变换的基本知识和其它的一些概念。它仍然是数学知识。我们要讨论
    有关矢量和矩阵操作。让我们从两个矢量和开始：
    （ x1 , y1 , z1 ） + （ x2 , y2 , z2 ） = （ x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ）
    很简单，现在把矢量乘于系数：
    k ?（ x, y, z ） = （ kx, ky, kz ）
    可以把上面的公式称为点积，如下表示：
    （x1 , y1 , z1 ） ?（ x2 , y2 , z2 ） = x1x2 + y1y2 + z1z2
    实际上，两个矢量的点积被它们的模的乘积除，等于两个矢量夹角的余弦。所以
    cos （V ^ W） =V ?W / | V | | W |
    注意"^"并不表示指数而是两个矢量的夹角。点积可以用来计算光线于平面的夹角，我们在计算阴影一节里会详细讨论。
    现在讨论叉乘：
    （ x1 , y1 , z1 ） X （ x2 , y2 , z2 ） =
    （ y1z2 - z1y2 , z1x2 - x1z2 , x1y2 - y1x2 ）
    叉乘对于计算屏幕的法向量非常有用。
    OK，我们已经讲完了矢量的基本概念。我们开始两个矩阵的和。它与矢量相加非常相似，这里就不讨论了。设I是矩阵的一行，J是矩阵的一列，（i,j）是矩阵的一个元素。我们讨论与3D变换有关的重要的矩阵操作原理。两个矩阵相乘，而且M x N <> N x M。例如：
    A 4x4矩阵相乘公式
    如果 A=（aij）4x4， B=（bij）4x4, 那么
    A x B=
    | S> a1jbj1 S> a1jbj2 S> a1jbj3 S> a1jbj4 |
    | |
    | S> a2jbj1 S> a2jbj2 S> a2jbj3 S> a2jbj4 |
    | |
    | S> a3jbj1 S> a3jbj2 S> a3jbj3 S> a3jbj4 |
    | |
    | S> a4jbj1 S> a4jbj2 S> a4jbj3 S> a4jbj4 |
    其中 j=1,2,3,4
    而且如果 AxB=（cik）4x4 那么我们可以在一行上写下：
    cik = S>4, j=1 aijbjk
    （ a1, a2, a3 ） x B =
    （Sum（aibi1） + b4,1, Sum（aibi2） + b4,2, Sum（aibi3） + b4,3 ）
    现在，我们可以试着把一些矩阵乘以单位阵来了解矩阵相乘的性质。我们把矩阵与矢量相乘结合在一起。下面有一个公式把3D矢量乘以一个4x4矩阵（得到另外一个三维矢量）如果B=（bij）4x4，那么：
    （ a1, a2, a3 ） x B = （S>aibi1 + b4,1, S>aibi2 + b4,2, S>aibi3 + b4,3 ）>
    这就是矢量和矩阵操作公式。从这里开始，代码与数学之间的联系开始清晰。
    变换
    我们已经见过象这样的公式：
    t（ tx, ty ）： （ x, y ） ==> （ x + tx, y + ty ）