常用算法设计方法之动态规划法

    动态规划法
    经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
    为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。
    【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
    问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
    给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。
    如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。
    考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
    （1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
    （2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
    （3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
    这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
    定义c[i][j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下：
    （1）c[i][j]=0 如果i=0或j=0；
    （2）c[i][j]= c[i-1][j-1]+1 如果I，j>0，且a[i-1]=b[j-1]；
    （3）c[i][j]=max（c[i][j-1]，c[i-1][j]） 如果I，j>0，且a[i-1]!=b[j-1]。
    按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1]，故可以从c[m][n]开始，跟踪c[i][j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。
    # include
    # include
    # define N 100
    char a[N],b[N],str[N];
    int lcs_len（char *a, char *b, int c[ ][ N]）
    { int m=strlen（a）， n=strlen（b）， i,j;
    for （i=0;i<=m;i++） c[i][0]=0;
    for （i=0;i<=n;i++） c[0][i]=0;
    for （i=1;i<=m;i++）
    for （j=1;j<=m;j++）
    if （a[i-1]==b[j-1]）
    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
    else if （c[i-1][j]>=c[i][j-1]）
    c[i][j]=c[i-1][j];
    else
    c[i][j]=c[i][j-1];
    return c[m][n];
    }
    char *buile_lcs（char s[ ],char *a, char *b）
    { int k, i=strlen（a）， j=strlen（b）；
    k=lcs_len（a,b,c）；
    s[k]=’\0’；
    while （k>0）
    if （c[i][j]==c[i-1][j]） i--;
    else if （c[i][j]==c[i][j-1]） j--;
    else { s[--k]=a[i-1];
    i--; j--;
    }
    return s;
    }
    void main（）
    { printf （“Enter two string（<%d）！\n”，N）；
    scanf（“%s%s”，a,b）；
    printf（“LCS=%s\n”，build_lcs（str,a,b））；
    }
    1、动态规划的适用条件
    任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
    （1）最优化原理（最优子结构性质）
    最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。