常用算法设计方法之分治法

    分治法
    1、分治法的基本思想
    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，…而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
    分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
    如果原问题可分割成k个子问题（12、分治法的适用条件
    分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
    （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
    （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
    （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
    （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
    上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
    3、分治法的基本步骤
    分治法在每一层递归上都有三个步骤：
    （1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
    （2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
    （3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
    它的一般的算法设计模式如下：
    Divide_and_Conquer（P）
    if |P|≤n0
    then return（ADHOC（P））
    将P分解为较小的子问题P1、P2、…、Pk
    for i←1 to k
    do
    yi ← Divide-and-Conquer（Pi） △ 递归解决Pi
    T ← MERGE（y1，y2，…，yk） △ 合并子问题
    Return（T）
    其中 |P| 表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC（P）是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法ADHOC（P）求解。
    算法MERGE（y1，y2，…，yk）是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1、P2、…、Pk的相应的解y1、y2、…、yk合并为P的解。
    根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？这些问题很难予以肯定的回答。但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
    分治法的合并步骤是算法的关键所在。有些问题的合并方法比较明显，有些问题合并方法比较复杂，或者是有多种合并方案；或者是合并方案不明显。究竟应该怎样合并，没有统一的模式，需要具体问题具体分析。
    【问题】 大整数乘法
    问题描述：
    通常，在分析一个算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当作是基本运算来处理，即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
    这个假定仅在计算机硬件能对参加运算的整数直接表示和处理时才是合理的。然而，在某些情况下，我们要处理很大的整数，它无法在计算机硬件能直接表示的范围内进行处理。若用浮点数来表示它，则只能近似地表示它的大小，计算结果中的有效数字也受到限制。若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
    请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算。
    设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O（n2）步运算才能求出乘积XY。下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
    图6-3 大整数X和Y的分段
    我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位（为简单起见，假设n是2的幂），如图6-3所示。
    由此，X=A2n/2+B，Y=C2n/2+D。这样，X和Y的乘积为：
    XY=（A2n/2+B）（C2n/2+D）=AC2n+（AD+CB）2n/2+BD （1）
    如果按式（1）计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法（AC，AD，BC和BD），以及3次不超过n位的整数加法（分别对应于式（1）中的加号），此外还要做2次移位（分别对应于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有这些加法和移位共用O（n）步运算。设T（n）是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式（1）。