常用算法设计方法之递归

    递归
    递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
    能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
    【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
    斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
    fib（0）=0;
    fib（1）=1;
    fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2） （当n>1时）。
    写成递归函数有：
    int fib（int n）
    { if （n==0） return 0;
    if （n==1） return 1;
    if （n>1） return fib（n-1）+fib（n-2）；
    }
    递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib（n），把它推到求解fib（n-1）和fib（n-2）。也就是说，为计算fib（n），必须先计算fib（n-1）和fib（n-2），而计算fib（n-1）和fib（n-2），又必须先计算fib（n-3）和fib（n-4）。依次类推，直至计算fib（1）和fib（0），分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
    在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib（1）和fib（0）后，返回得到fib（2）的结果，……，在得到了fib（n-1）和fib（n-2）的结果后，返回得到fib（n）的结果。
    在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
    由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib（n）应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
    【问题】 组合问题
    问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
    （4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
    （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
    （10）3、2、1
    分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb（int m,int k）为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
    【程序】
    # include
    # define MAXN 100
    int a[MAXN];
    void comb（int m,int k）
    { int i,j;
    for （i=m;i>=k;i--）
    { a[k]=i;
    if （k>1）
    comb（i-1,k-1）；
    else
    { for （j=a[0];j>0;j--）
    printf（“%4d”，a[j]）；
    printf（“\n”）；
    }
    }
    }
    void main（）
    { a[0]=3;
    comb（5,3）；
    }
    【问题】 背包问题
    问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
    设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
    对于第i件物品的选择考虑有两种可能：
    （1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案