深入探讨透视投影坐标变换

　　写3d图形程序，就一定会做坐标变换。而谈到坐标变换，就不得不提起投影变换，因为它是所有变换中最不容易弄懂的。但有趣的是，各种关于透视变换的文档却依然是简之又简，甚至还有前后矛盾的地方。看来如此这般光景，想要弄清楚它，非得自己动手不可了。所以在下面的文章里，作者尝试推导一遍这个难缠的透视变换，然后把它套用到 DX和 PS2lib 的实例中去。
　　
　　一般概念
　　
　　所谓透视投影变换，就是view 空间到project 空间的带透视性质的坐标变换步骤（这两
　　
　　个空间的定义可以参考其他文档和书籍）。我们首先来考虑它应该具有那些变换性质。很显然，它至少要保证我们在view空间中所有处于可视范围内的点通过变换之后，统统落在project空间的可视区域内。好极了，我们就从这里着手——先来看看两个空间的可视区域。
　　
　　由于是透视变换，view空间中的可见范围既是常说的视平截体（view frustum）。如图，
　　

　
　　（图1）
　　
　　它就是由前后两个截面截成的这个棱台。
　　
　　从view空间的x正半轴看过去是下图这个样子。
　　　
　　（图2）
　　
　　接下来是project空间的可视范围。这个空间应当是处于你所见到的屏幕上。实际上将屏幕表面视作project空间的xoy平面，再加一条垂直屏幕向里（或向外）的z轴（这取决于你的坐标系是左手系还是右手系），这样就构成了我们想要的坐标系。好了，现在我们可以用视口（view port）的大小来描述这个可视范围了。比如说全屏幕640*480的分辨率，原点在屏幕中心，那我们得到的可视区域为一个长方体，它如下图（a）所示。
　　　
　　（图3）
　　
　　但是，这样会带来一些设备相关性而分散我们的注意力，所以不妨先向DirectX文档学学，将project空间的可视范围定义为x∈[-1,1], y∈[-1,1], z∈[0,1]的一个立方体(上图b)。这实际上可看作一个中间坐标系，从这个坐标系到上面我们由视口得出的坐标系，只需要对三个轴向做一些放缩和平移操作即可。另外，这个project坐标系对clip操作来说，也是比较方便的。
　　
　　推导过程
　　
　　先从project空间的x正半轴看看我们的变换目标。
　　　
　　（图4）
　　
　　这个区域的上下边界为y’=±1, 而图2中的上下边界为y = ± z * tan(fov/2)，要实现图
　　
　　2到图4的变换，我们有y’ = y * cot(fov/2) / z。这下完了，这是一个非线性变换，怎么用矩阵计算来完成呢？还好我们有w这个分量。注意到我们在做投影变换之前所进行的两次坐标变换——world变换和view变换，他们只是一系列旋转平移和缩放变换的叠加。仔细观察这些变换矩阵，你会发现它们其实不会影响向量的w分量。换句话说，只要不是故意，一个w分量等于1的向量，再来到投影变换之前他的w分量仍旧等于1。好的，接下来我们让w’= w*z, 新的w就记录下了view空间中的z值。同时在y分量上我们退而求其次，只要做到y’ = y * cot(fov/2)。那么，在做完线性变换之后，我们再用向量的y除以w，就得到了我们想要的最终的y值。
　　
　　x分量的变换可以如法炮制，只是fov要换一换。事实上，很多用以生成投影变换矩阵的函数都使用了aspect这个参数。这个参数给出了视平截体截面的纵横比(这个比值应与view port的纵横比相等，否则变换结果会失真)。如果我们按照惯例，定义aspect = size of X / size of Y。那么我们就可以继续使用同一个fov而给出x分量的变换规则：x’ = x * cot(fov/2) / aspect。
　　
　　现在只剩下z分量了。我们所渴望的变换应将z = Znear 变换到z = 0，将z = Zfar变换到z = 1。这个很简单，但是等等，x, y最后还要除以w，你z怎能例外。既然也要除，那么z = Zfar 就不能映射到z = 1了。唔，先映射到z = Zfar试试。于是，有z’ = Zfar*(z-Znear)/(Zfar – Znear)。接下来，看看z’/z的性质。令f(z) = z’/z = Zfar*(z-Znear)/（z*(Zfar – Znear)）。
　　
　　则f’(z) = Zfar * Znear / ( z^2 * (Zfar –Znear )), 显而易见f’(z) > 0。所以除了z = 0是一个奇点，函数f(z)是一个单调增的函数。因此，当Znear≤z≤Zfar时，f(Znear)≤f(z)≤f(Zfar),
　　
　　即0≤f(z)≤1。
　　
　　至此，我们可以给出投影变换的表达式了。
　　
　　x’ = x*cot(fov/2)/aspect
　　
　　y’ = y*cot(fov/2)
　　
　　z’ = z*Zfar / ( Zfar – Znear ) – Zfar*Znear / ( Zfar – Znear )
　　
　　w’ = z
　　
　　以矩阵表示，则得到变换矩阵如下，
　　
　　cot(fov/2)/aspect 0 0 0
　　
　　0 cot(fov/2) 0 0
　　
　　0 0 Zfar/(Zfar-Znear) 1
　　
　　0 0 -Zfar*Znear/(Zfar-Znear) 0。
　　
　　做完线性变换之后，再进行所谓的“归一化”，即用w分量去除结果向量。
　　
　　现在我们考虑一下这个变换对全view空间的点的作用。首先是x和y分量，明了地，当z>0时，一切都如我们所愿；当z<0时，x和y的符号在变换前后发生了变化，从图象上来说，view空间中处于camera后面的图形经过变换之后上下颠倒，左右交换；当z= 0 时，我们得到的结果是无穷大。这个结果在实际中是没有意义的，以后我们得想办法弄掉它。再来看z,
　　
　　仍旧拿我们上面定义的f(z)函数来看，我们已经知道当z≥Zfar时，f(z)≥1;同时当z→+∞，f(z)→Zfar/(Zfar-Znear);当z→+0时，f(z)→-∞; z→-0时，f(z)→+∞; z→∞时，f(z)→Zfar/(Zfar-Znear).由此我们画出f(z)的图像。
　　　
　　（图5）
　　
　　由此图可以看出当z≤0时，如果我们仍旧使用f(z)进行绘